In dit project streven we ernaar geavanceerde wiskundige instrumenten uit te breiden om complexere en onbegrensde vormen te bestuderen, en nieuwe manieren te vinden om gedetailleerde eigenschappen van deze vormen te berekenen.
Indextheorie voor niet-compacte ruimten
Bij een compacte variëteit (een begrensde vorm zonder randen), kunnen we indextheorie en de stelling van Atiyah-Singer gebruiken om belangrijke eigenschappen (invarianten) van de vorm te berekenen. Deze invarianten kunnen ons veel informatie geven over de variëteit. We kunnen nog gedetailleerdere informatie krijgen door een hogere index te gebruiken die waarden aanneemt in de K-theorie, wat een geavanceerder wiskundig kader is dan alleen het gebruik van gehele getallen. Veel interessante ruimten in de wiskunde zijn echter niet compact, maar hebben nog steeds een begrensd volume. (Bijvoorbeeld het quotiënt van het bovenste halfvlak door SL(2,Z).).
De klassieke Atiyah-Singer indextheorie is uitgebreid om met deze niet-compacte ruimten te werken. Ons doel is om ook de hogere, K-theoretische indextheorie uit te breiden naar deze niet-compacte ruimten. Daarnaast streven we ernaar om hogere versies van secundaire invarianten, zoals eta-invarianten en analytische torsie, voor deze niet-compacte ruimten te construeren en te berekenen. Deze secundaire invarianten bieden nog gedetailleerdere informatie over de ruimten.
Nieuwe inzichten
We verwachten dat de resultaten van dit project relevant zijn omdat ze krachtige wiskundige instrumenten uitbreiden naar een bredere klasse van ruimten, wat kan leiden tot nieuwe inzichten en ontdekkingen in de meetkunde en topologie. Door de eigenschappen van niet-compacte ruimten met eindig volume te begrijpen, kunnen we complexere problemen in de wiskunde oplossen en mogelijk toepassingen vinden in de getaltheorie en theoretische natuurkunde, zoals in de studie van de ruimtetijd.